Advertise here

Photobucket

Ο μύθος του «είμαι κακός στα μαθηματικά»

Argiris Michalakis     1:51 π.μ.    

«Δεν έχω μαθηματικό μυαλό». Το ακούμε διαρκώς. Όμως αυτή η άποψη περί «μαθηματικών μυαλών» καταντάει να είναι αυτοκαταστροφική για όσους την ασπάζονται. Η πραγματικότητα είναι ότι μάλλον έχετε "μαθηματικό μυαλό", όμως αν έχετε διαφορετική άποψη ίσως βλάπτετε τη καριέρα σας. Αλλά το χειρότερο είναι ότι συμβάλετε στη διαιώνιση ενός μύθου που βλάπτει ολέθρια τα μη προνομιούχα παιδιά, το μύθο της έμφυτης γενετικής ικανότητας στα μαθηματικά.

Είναι έμφυτη η ικανότητα στα μαθηματικά; Σίγουρα σε κάποιο βαθμό είναι. Ο Terence Tao, διάσημος μαθηματικός του UCLA , δημοσιεύει δεκάδες άρθρα σε κορυφαία περιοδικά κάθε χρόνο. Ερευνητές απ' όλο τον κόσμο ζητούν τη βοήθεια του για τα δυσκολότερα κομμάτια της έρευνας τους. Κανένας από εμάς δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι τόσο καλός στα μαθηματικά όπως ο Terence Tao, ανεξαρτήτως πόσο σκληρά προσπαθήσουμε ή πόσο καλούς δασκάλους έχουμε. Αλλά εδώ είναι η διαφορά: Εμείς δεν χρειάζεται να είμαστε τόσο καλοί! Για τα μαθηματικά του σχολείου, το εκ γενετής ταλέντο είναι πολύ λιγότερο σημαντικό από τη σκληρή δουλειά , την προετοιμασία και την αυτοπεποίθηση.


Πώς το ξέρουμε αυτό; Όσοι διδάσκουν μαθηματικά για πολλά χρόνια - καθηγητές, βοηθοί διδασκαλίας και εκπαιδευτικοί του ιδιωτικού τομέα -  παρατηρούν να  επαναλαμβάνεται το παρακάτω μοτίβο:


  • Διαφορετικά παιδιά με διαφορετικά επίπεδα της προετοιμασίας ξεκινούν σε μια τάξη μαθηματικών. Μερικά από αυτά τα παιδιά έχουν γονείς που τα έχουν βοηθήσει να εντρυφήσουν στα μαθηματικά από μικρή ηλικία , ενώ άλλα παιδιά δεν είχαν αυτή τη γονική βοήθεια.
  • Στα πρώτα τέστ, τα καλά προετοιμασμένη παιδιά παίρνουν πολύ καλά αποτελέσματα, ενώ τα απροετοίμαστα παιδιά παίρνουν ό, τι κατάφεραν να μάθουν από μόνα τους.
  • Τα απροετοίμαστα παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι αυτοί που πήραν τους καλούς βαθμούς ήταν καλά προετοιμασμένοι, και υποθέτουν ότι η εκ γενετής ικανότητα καθόρισε την διαφορά στην απόδοση τους. Έχοντας αποδεχτεί ότι "δεν έχουν μαθηματικά μυαλό", δεν προσπαθούν σκληρά και στις επόμενες τάξεις , και αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μείνουν πίσω. 
  • Τα καλά προετοιμασμένη παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι οι μαθητές που δεν πήραν καλούς βαθμούς ήταν απλώς απροετοίμαστοι, υποθέτουν ότι έχουν "μαθηματικό μυαλό", και μελετούν πολύ και στο μέλλον ώστε να επιβεβαιώσουν το πλεονέκτημα  τους.


Έτσι, η πίστη των ανθρώπων ότι η ικανότητα στα μαθηματικά δεν μπορεί να αλλάξει γίνεται μια αυτοεκπληρούμενη προφητεία .

Η άποψη ότι η ικανότητα στα μαθηματικά είναι κυρίως έμφυτη αποτελεί μια σκοτεινή πτυχή της μεγαλύτερης πλάνης ότι η νοημοσύνη είναι κυρίως έμφυτη. Τα ακαδημαϊκά περιοδικά ψυχολογίας είναι γεμάτα δημοσιεύσεις που μελετούν την άποψη που βρίσκεται πίσω από το είδος της αυτοεκπληρούμενης προφητείας που μόλις περιγράψαμε. Για παράδειγμα, η καθηγήτρια ψυχολόγος  Patricia Linehan του πανεπιστημίου Purdue γράφει :

«Οι μελέτες σχετικά με το πως αντιλαμβανόμαστε την ικανότητα, έχουν δείξει δύο διαφορετικούς τύπου προσανατολισμού. Οι μαθητές με τον πρώτο τύπο (Incremental orientation), πιστεύουν ότι η ικανότητα (νοημοσύνη ) είναι εύπλαστη, με αποτέλεσμα να καταβάλουν μεγαλύτερη προσπάθεια. Οι μαθητές με τον δεύτερο τύπο προσανατολισμού (Entity orientation) πιστεύουν ότι η ικανότητα τους δεν είναι εύπλαστη, κάτι που τους αποτρέπει να προσπαθήσουν περισσότερο».

Η άποψη που λέει  "Είτε είστε έξυπνος είτε όχι, τελεία και παύλα» οδηγεί σε κακά αποτελέσματα. Αυτό έχει επιβεβαιωθεί και από πολλές άλλες μελέτες . Όσο αφορά τα μαθηματικά αποδείχτηκε πρόσφατα και από τους ερευνητές στο Oklahoma City  που βρήκαν σε μελέτη που έκαναν, ότι η πίστη στην έμφυτη ικανότητα στα μαθηματικά μπορεί να είναι η αιτία για σημαντικό μέρος της του χάσματος μεταξύ των δύο φύλων στα μαθηματικά.

Σε άλλη έρευνα, οι ψυχολόγοι Lisa Blackwell , Kali Trzesniewski και Carol Dweck παρουσίασαν σε φοιτητές τις δύο παρακάτω εναλλακτικές  πεποιθήσεις των ανθρώπων σχετικά με την ευφυΐα :

Έχετε συγκεκριμένη ποσότητα νοημοσύνης, και δεν μπορείτε να κάνετε πολλά για να την αλλάξετε .

Μπορείτε  να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε .

Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές οι οποίοι συμφώνησαν ότι «μπορείτε  να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε " πήραν υψηλότερους βαθμούς. Αλλά, όπως ο Richard Nisbett αφηγείται στο βιβλίο Intelligence and How to Get It , οι ερευνητές έκαναν κάτι ακόμα πιο αξιοπρόσεκτο:

Προσπάθησαν να πείσουν μια ομάδα μαθητών  γυμνασίου και λυκείου που προέρχονταν από μία  φτωχή μειονότητα, ότι η νοημοσύνη είναι εξαιρετικά εύπλαστη και μπορεί να αναπτυχθεί με τη σκληρή δουλειά ... ότι η μάθηση αλλάζει τον εγκέφαλο δημιουργώντας νέες νευρωνικές συνάψεις ... και ότι οι μαθητές είναι υπεύθυνοι για αυτή τη διαδικασία αλλαγής.

Τα αποτελέσματα; Οι μαθητές που πείστηκαν ότι θα μπορούσαν να γίνουν πιο έξυπνοι με τη σκληρή δουλειά, εργάστηκαν σκληρότερα και πέτυχαν υψηλότερη βαθμολογία. Απ' αυτούς τους μαθητές, ακόμα καλύτερο αποτέλεσμα πέτυχαν όσοι πίστευαν αρχικά  ότι η ευφυΐα είναι έμφυτη.

Αλλά η βελτίωση των βαθμών δεν ήταν η πιο εντυπωσιακή επίδραση. Ο Dweck αναφέρει ότι ορισμένοι μαθητές ξέσπασαν σε δάκρυα ακούγοντας ​​ότι η νοημοσύνη τους είναι ουσιαστικά υπό τον έλεγχό τους. "Δεν είναι εύκολο να περάσεις μια ζωή πιστεύοντας ότι γεννήθηκες χαζός και είσαι καταδικασμένοι να παραμείνεις έτσι ."


Για όσους πιστεύουν ότι έχουν γεννηθεί χαζοί και είναι καταδικασμένοι να μείνουν έτσι - αυτό το πιστεύω είναι ψέμα . Το IQ μπορεί να βελτιωθεί με τη σκληρή δουλειά. Παραθέτουμε και κάποιους άλλους συνδέσμους που θα σας βοηθήσουν να αναθεωρήσετε αν πιστεύετε στην έμφυτη ευφυΐα:




ΠΗΓΗ

Η μεγαλύτερη απόδειξη στην ιστορία των Μαθηματικών φτάνει τα 200 terabyte

Argiris Michalakis     1:24 μ.μ.    
Ο υπερυπολογιστής Stampede του Πανεπιστημίου του Τέξας χρειάστηκε δύο μέρες για να υπολογίσει τη λύση (Πηγή: UT Advanced Computing Center)
Λονδίνο
Και τώρα βγάλτε μια κόλλα χαρτί. Ή μάλλον βγάλτε μερικά εκατομμύρια κόλλες.

Τρεις μαθηματικοί καμαρώνουν για τη μεγαλύτερη απόδειξη μαθηματικού προβλήματος, ένα τερατώδες αρχείο των 200 terabyte, περίπου όσο το σύνολο των ψηφιοποιημένων βιβλίων στη Βιβλιοθήκη του Κογκρέσου.

Όπως αναφέρει ο δικτυακός τόπος του περιοδικού Nature, η άκρως μακροσκελής λύση αφορά το πρόβλημα της «μπούλειας πυθαγόρειας τριπλέτας», το οποίο βασανίζει τους μαθηματικούς εδώ και δεκαετίες.

Το πρόβλημα θέτει το ερώτημα του κατά πόσον είναι δυνατό να χρωματιστεί κάθε θετικός ακέραιος αριθμός κόκκινος ή μπλε, έτσι ώστε καμία τριάδα ακεραίων που ικανοποιεί την πυθαγόρεια εξίσωση α2=β2+γ2 να μην είναι ομοιόμορφα χρωματισμένη.

Για παράδειγμα, στην πυθαγόρεια τριπλέτα 3, 4 και 5, αν το τρία και το 5 είχαν χρωματιστεί μπλε, το 4 θα έπρεπε να είναι κόκκινο.

Η απάντηση στο μεγάλο πρόβλημα αναρτήθηκε στην υπηρεσία προδημοσίευσης arXiv από τον Ρόναλντ Γράαμ του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σιαν Ντιέγκο, τον Όλιβερ Κούλμαν του Πανεπιστημίου του Σουάνζι στη Βρετανία και τον Βίκτορ Μάρεκ του Πανεπιστημίου του Κεντάκι στο Λέξινγκτον.

Οι τρεις ερευνητές αποδεικνύουν ότι η απαίτηση του προβλήματος ικανοποιείται για τους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το 7.824 αλλά όχι πιο πάνω. Όταν κανείς φτάσει στο 7.825, είναι αδύνατο να περιέχουν και κόκκινο και μπλε όλες οι τριπλέτες που ικανοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα.

Για να λύσουν το πρόβλημα, οι ερευνητές χρειάστηκαν 2 μέρες επεξεργασίας σε 800 επεξεργαστές του υπερυπολογιστή Stampede του Πανεπιστημίου του Τέξας.

Αν και υπάρχουν περισσότεροι από 102300 τρόποι να χρωματίσει κανείς τους ακέραιους μέχρι το 7.825, οι τρεις μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκαν συμμετρίες των αριθμών, καθώς και διάφορες τεχνικές της θεωρίας των αριθμών, για να περιορίσουν τις πιθανότητες που έπρεπε να εξετάσει ο υπερυπολογιστής στο ένα τρισεκατομμύριο.

Στην επόμενη φάση, η λύση επιβεβαιώθηκε με τη βοήθεια διαφορετικού λογισμικού.

Οι μαθηματικές αποδείξεις που προκύπτουν από υπολογιστές, και είναι πρακτικά αδύνατο να επιβεβαιωθούν από ανθρώπους, γίνονται όλο και συχνότερες τα τελευταία χρόνια.

Όπως όμως επισημαίνει ο Όλιβερ Κούλμαν της ερευνητικής ομάδας, η απόδειξη στο πρόβλημα δεν προσφέρει καμία εξήγηση γιατί ο χρωματισμός των τριπλετών είναι αδύνατος πέρα από το 7.825, ούτε εξετάζει το εάν ο συγκεκριμένος αριθμός έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία.

Και αυτό θέτει εν αμφιβόλλω το κατά πόσον η απόδειξη είναι πραγματικά μαθηματικά -τουλάχιστον αν δεχθεί κανείς ότι στόχος των μαθηματικών είναι να προσφέρουν κατανόηση και γνώση και όχι να συσσωρεύουν αχανείς όγκους δεδομένων.

Αυτό, σχολιάζει το Nature, κατέστη προφανές στην περίπτωση του προηγούμενου κατόχου του ρεκόρ μεγαλύτερης απόδειξης, ένα τέρας των 13 gigabyte που δημοσιεύτηκε το 2014.

Ένα χρόνο αργότερα, μαθηματικός του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες εξέτασε το ίδιο πρόβλημα με τον παραδοσιακό τρόπο και προσέφερε έτσι μια πιο «ουσιαστική» λύση.


Επιμέλεια: Βαγγέλης Πρατικάκης
ΠΗΓΗ

Δείτε την ύλη των Πανελλαδικά εξεταζόμενων μαθημάτων για το σχολικό έτος 2015 - 2016

Argiris Michalakis     6:44 π.μ.    




ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2015 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Argiris Michalakis     1:25 μ.μ.    

Δείτε και τις λύσεις των θεμάτων.




ΝΕΟ.... 16-05-2015 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΝΕΩΝ ΓΝΩΣΗ     8:21 π.μ.    



ΠΙΘΑΝΟ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ


ΝΕΟ ......16-05-2015

ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΝΕΩΝ ΓΝΩΣΗ     7:54 π.μ.    


ΑΛΛΟ ΕΝΑ ΠΙΘΑΝΟ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ .....


 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2015 ΑΠΟ ΤΟ
1ο βιβλίο
 

 
 
Το βιβλίο αυτό αποτελεί το πιο χρήσιμο και πρακτικό βοήθημα για το μαθητή. Είναι όλη η θεωρία στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης  που πρέπει να γνωρίζει ο κάθε μαθητής της Γ Λυκείου σε μορφή Ερώτηση -Απάντηση. Είναι απαραίτητο για κάθε  μαθητή, διότι είναι γραμμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να κατανοεί πλήρως την κάθε ερώτηση αλλά και την απάντηση που πρέπει να δώσει στις εξετάσεις ώστε να μην χάσει ούτε ένα μόριο από την βαθμολόγηση στις Πανελλήνιες εξετάσεις. Μπορεί να κάνει παντού την επανάληψη ,ακόμη και λίγο πριν τις εξετάσεις.
Τα βιβλία μπορείτε να τα προμηθευτείτε είτε σε ηλεκτρονική μορφή e-book είτε σε έντυπη έκδοση μέσω του www.cosmotebooks.gr .
 
 

ΠΙΘΑΝΟ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 11-05-2015 (ΓΕΝΙΚΗ)

Argiris Michalakis     11:37 μ.μ.    
ΝΕΟ 06-05-2015


       ΠΙΘΑΝΟ ΘΕΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ


ΑΠΟ ΤΟ www.monomathimatika.gr  ΣΕ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΑΠΕΝΑΝΤΙ......

  ΘΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ ΚΑΠΟΙΑ ΠΙΘΑΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.

ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!!!

About us

Common

Category

FAQ's

Category

FAQ's

© 2011-2014 ΜΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ | Distributed By My Blogger Themes | Designed By Bloggertheme9